Définition des nombres premiers
Chaque nombre naturel qui ne peut être divisé que par 1 et par lui-même est connu comme nombre premier. Pour donner un exemple : 3 est un nombre premier, alors que 6 ne l’est pas, car 6 2 = 3 et 6 3 = 2.
Le terme de primalité est utilisé pour désigner la qualité d’être premier. Comme le seul nombre premier pair est 2, tout nombre premier supérieur à 2 est souvent appelé nombre premier impair.
La conjecture de Goldbach , proposée par le mathématicien Christian Goldbach en 1742 , indique que tout nombre pair supérieur à deux peut être exprimé comme la somme de deux chiffres premiers (4 = 2 + 2 ; 6 = 3 + 3 ; 8 = 5 + 3). Comme aucun mathématicien n’a pu trouver un nombre pair supérieur à 2 qui ne puisse être exprimé par la somme de deux nombres premiers, on pense que la conjecture est vraie, bien qu’elle n’ait jamais pu être prouvée.
La primauté est très importante car elle implique que tout nombre peut être pris en compte comme produit des nombres premiers. Cette factorisation, en revanche, sera toujours unique.
Toute l’année 300 avant J.-C. , le mathématicien grec Euclide avait déjà prouvé que les nombres premiers sont infinis. Il existe certaines règles pour vérifier si un nombre est premier : par exemple, tout nombre qui se termine par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8, ou dont la somme des chiffres correspond à un nombre qui peut être divisé par 3, n’est pas premier. D’autre part, les nombres se terminant par 1, 3, 7 ou 9 peuvent ou non être des nombres premiers.
Les nombres non primaires (c’est-à-dire ceux qui ont des diviseurs naturels en plus de 1 et de lui-même) sont connus sous le nom de nombres composés . Par convention, le 1 n’est pas défini comme un nombre premier mais il n’est pas non plus défini comme un nombre composé.
Les applications des nombres premiers sont nombreuses et elles sont souvent associées à des techniques de cryptage. Par exemple, dans le cas de l’algorithme appelé RSA, une clé est obtenue par la multiplication de deux nombres premiers supérieurs à 10100 ; comme il n’y a aucun moyen de prendre en compte rapidement un nombre aussi élevé avec les ordinateurs classiques, il est très fiable.
Systèmes de cryptage
Compte tenu de la nécessité pour les êtres humains de protéger certaines informations, des systèmes de cryptage ont été créés, qui permettent uniquement à ceux qui connaissent les instructions spécifiques pour décoder un certain message d’y accéder. Ces procédures cryptographiques remontent à des civilisations très anciennes, bien que grâce aux progrès des mathématiques et à l’intérêt des militaires pour ces techniques, leur complexité ait considérablement augmenté depuis leurs premières formes.
Pour crypter un message, il est nécessaire d’utiliser une clé qui permet de le convertir en texte illisible. Une fois reçue, en fonction de la technique utilisée, il sera nécessaire d’utiliser une autre clé, qui peut être ou non la même que la première. Les deux systèmes de cryptage connus sont appelés symétrique et clé secrète .
Le système de clé secrète utilise deux clés identiques ou différentes, tandis que la clé de décryptage peut être dérivée de la clé de cryptage. Le système symétrique , également appelé système à clé publique, utilise deux clés différentes ; il est absolument nécessaire de les connaître toutes les deux, car elles ne présentent aucune indication que l’une pourrait logiquement avoir l’autre.
Le secret de ce dernier système est qu’il repose sur les fonctions pièges connues ; ce sont des formules mathématiques dont le calcul direct est facile, mais qui nécessitent un grand nombre d’opérations pour effectuer l’inverse. Dans le cas de la cryptographie asymétrique, ces fonctions sont basées sur la multiplication des nombres premiers.
